Statistics and Causal Inference(1986)

May 14, 2022

ルービンの因果モデルによる統計的因果推定では、群$U$の要素を$u$, 処置を$t$, $c$, $Y$を潜在的結果変数とすると、$u$に対して処置$c$を適用するときの処置$t$の因果効果を、$T = Y_t(u) - Y_c(u)$とみなす。たとえば、$u$を人、$t$, $c$を運動をする、しない、$Y$をコレステロールの値とすれば、運動とコレステロール値の関係になる。おなじ$u$に対して$Y_t(u)$と$Y_c(u)$を両方観測することはできない。因果効果は、観測するものではなく、推定するものになる。

$S$を群の要素から処置への写像とすると、$E(Y_t)$や$E(Y_u)$を2つとも測定することはできないが、

$$ E(Y\_s\mid S=t) = E(Y\_t \mid S=t) $$

$$ E(Y\_s\mid S=c) = E(Y\_c \mid S=c) $$

をもとめることはできる。ところで、$S$が$u$にたいして無作為に写像する処置を選ぶのであれば、$S$は$Y_t, Y_c$に対して独立になり

$$ E(Y\_t)=E(Y\_t \mid S=t) $$

$$ E(Y\_c)=E(Y\_c \mid S=c) $$

がなりたち、平均因果効果$T$を

$$ T=E(Y\_S\mid S=t) - E(Y\_S \mid S = c) $$

によって求めることができる。ここで、上の式の右辺を$T_{PF}$とおく。

次に、群$U$における各の$u$において因果効果が等しい場合、任意の$u$について

$$ T = Y\_t(u) - Y\_c(u) $$

になる。このとき、

$$ \begin{align} Y\_t(u) &= Y\_c(u) + T \\\\ E(Y\_t\mid S= t) &= T + E(Y\_c \mid S=t) \\\\ T\_{PF} &= T + \\{E(Y\_c\mid S=t) - E(Y\_c \mid S=c)\\} \end{align} $$

が成立する。通常、括弧の中は先にのべたように$S$が独立でなければ0にならない。

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